Lojik olarak anlatayım size :)

Fonksiyon searchButton id li nesneye tıkladığında click fonksiyonu ile tetiklenip arama fonksiyonunu çalıştırıyor.

Eğer ki siz jQuery kodunuzun direkt çalışmasını istiyorsanız. Click işlemini iptal edip çalışmasını istediğiniz kodları direkt olarak şu bloğun içine yazınız.

$(document).ready(function(){

//bla bla bla kodlar

});

Ek olarak sanırım yanlış anladım. inputa yazarken mi anlık arama yapmasını istiyorsunuz ? Çünkü sayfa açılır açılmaz arama yapması saçma olurdu.
Bunun içinde jQuery change ve ajax methodlarını kullanmanız gereklidir.