Hocam kısaca mantığı göstericem. İndex html ye jquery eklemeyi unutmayın.

giris.js diye bir dosya açın içine

$(document).ready(function(){
$("#giris1").click(function(){
var deger = $("#girisForm").seralize();
$.ajax({
type: "post",
url: "giris.php",
data: deger,
success: function(cevap){
$("#sonuc").html(cevap);
}
});
});
});

ve son olarak giris.php yapın siz mysql dan sorgulatırsınız ben sadece örnek veriyorum

if($_POST){
$isim = $_POST["isim"];
echo $isim;
}
?>