Şu an cPanel kullanıyosanız full backup almalısınız yani. Yeni hostinginizin paneli plesk olucak diyelim.
migrate cpanel to plesk olur. Hosting sağlayıcınız bu işlemi gerçekleştirebilir. Hosting alacağınız yere sormalısınız. Root yetkisinde müdahele gerekebilir.

Yandex mail kullansaydınız keşke. Host değiştirin hiç farketmez di. Bakalım o şekilde devam edin.

Bir çok yöntem mevcut. webmail kullanmıyolardır outlook ayarlanmıştır büyük ihtimal. Genede siz bi sorun. Kullandığınız panelleri de yazarsanız daha net yardımcı olabiliriz.