Domain ve Hosting şu an işlevde varsayalım.

Hosting paneline ulaş, SQL yedeklerini al, sonra ftp'den dosyalarını al.

Ardından yeni hostingini satın al, içerisine veritabanı oluşturup sql yedeğini yükle. FTP'den de aldığın dosya yedeklerini yükle.

Şuan yeni hostingde değilsin sadece taşınınca kapalı kalma süren olmasın diye böyle bir yöntem uygulanır.

Ardından ise domain panelinden nameserver (ad sunucuları diye de geçebilir) sekmesine gir, hosting panelinden de sana sunulan nameserver (ns1.xxx.com gibidir) bilgilerini kopyala, domain panelindekilerle değiştir.

Nameserver bilgilerin güncellenince siten aynı şekilde kaldığı yerden devam edecektir.
Güncellenme esnasında ise eski hostinginde görünecektir.

Kapalı kalma süren olmayacaktır.
İyi çalışmalar.