Kendi sitenden çıkar Youtube'ye giderse, bu durum senin kontrolünün dışına çıkar.

Şöyle yapabilirsin her ne kadar sağlıklı olmasa da; İlgili youtube linkini iframe olarak koyarsın kendi sitende açılır video. Kendi sitende açılacağı için; o sayfada geçilen süreyi kayıt altına alabilirsin ama video oynatılmadan sayfada bekletildiğinde de yine aynı durum söz konusu olacaktır.

Youtube'un ilgili API si var mı bilmiyorum.