Biryerde görmüştüm cookie okumayla ilgili olarak aşağıdakini bir dene.
siteName'e gönderdiğin site isminde www olmaması gerekiyormuş örnek : http://sitedomain.com


public String getCookie(String siteName,String CookieName){
String CookieValue = null;

CookieManager cookieManager = CookieManager.getInstance();
String cookies = cookieManager.getCookie(siteName);
if(cookies != null){
String[] temp=cookies.split(";");
for (String ar1 : temp ){
if(ar1.contains(CookieName)){
String[] temp1=ar1.split("=");
CookieValue = temp1[1];
}
}
}
return CookieValue;
}


daha detaylı : https://developer.android.com/reference/android/webkit/CookieManager.html