Formda ..."return false;"... kısmına gerek yok çünkü zaten submit eventinde e.preventDefault(); ile bunu yapmış oluyorsun.

#1
Konuya gelecek olursak bu istediğini hem JS hem de PHP tarafında yapman gerek. Jquery ile şöyle bir yol izlenebilir, fiddle.

http://jsfiddle.net/EgoistDeveloper/304krdyc/

Örnekte ul, li içinde alan checkbox'ları foreach ile gezip checked property false ise default değer olarak aynı name değerini FormData'ya apppend ettim. Arayüzde (veya DOM'da) checkbox'ın value içeriğine bir etkisi yok, sadece post edilecek veri olan FormData için varsayılan değer ekliyor.

#2
Kulanıcıdan böyle bir senaryo için veri bekliyoruz ama XHR isteğini doğrudan elle yapan biri olabilir veya client menipüle edilmiş olabilir. PHP tarafında mutlaka beklenen değer kontrol edilmeli. HTML'de checkbox'lar checked="true" olmadığı sürece post içinde yer almaz, bu durumda if(!isset($_POST['name']) || empty($_POST['name']))... şeklinde kontrol edilebilir.

#3
Kapsamlı formlarda her elementi kontrol etmek işleri spagettiye dönüştürebilir, bu durumda eğer veritabanına doğrudan kayıt söz konusu ise veritabanındaki varsayılan değer özelliğinden yararlanılabilir.

Kolay gelsin.