Şöyle bir bakacak olursak birçok hata göze çarpıyor. Öncelikle jquery click metodunun yerine on metodunu kullanmanızı tavsiye ederim
$("#baslatButon").click(function(){ // değil de
$("#baslatButon").on("click", function(){ // bu şekilde

Daha sonrasında ajax dataType değerine json yazmanız veriyi json formatında göndereceğiniz anlamına gelmez, sunucudan gelen cevabın json formatında olduğunu belirtir. Kod yapınız buna uygun doğru gibi gözüküyor ama bunu bilerek oluşturduğunuzu sanmıyorum. Javascript tarafında yanıt alamamanızın en temel sebebi bu muhtemelen. bakınız:https://api.jquery.com/jquery.ajax/#jQuery-ajax-settings

tagsil.php dosyasına giden post değerini orada
$_POST['data']

şeklinde spesifik olarak yakalayabilirsin. Çünkü postunun adına 'data' adını vermişsin.
data: { data: data},

burada en baştaki data bildiğin üzere ajax ın bir parametresi. İkinci sıradaki data enin belirlediğin herhangi bir ad olabilir, php dosyasında postu bu adla yakalarsın, üçüncü sıradaki data da fonksiyondan geliyor, tabii burada fonkiyona gerek yok. Ama burada sen fonkiyonu oluşturup çağırmıyorsun bir de, ayriyeten syntax hataları da mevcut. En sonra bir parantez kapanması lazım.

Siz kodu şu şekilde düzenleyin click olayı gerçekleştiğinde ayriyeten içeride bir fonksiyon oluşturmanıza gerek yok, he belki daha başka işlemler için de kullanmak isteyebilirsiniz ama bu tekli örnekte gerek yok, illa da bir fonksiyon olsun istiyorsanız kendiliğinden çağırılan bir fonksiyon oluşturmanız gerek. Yorum satırlarını silip deneyebilirsiniz. Ve javascript kendiliğinden çağırılan fonksiyonu da araştırın.

$("#baslatButon").on("click", () => {
// (() => {
$.ajax({
url: "api/tagsil.php",
dataType: "JSON",
type: "post",
data: {
data: $("#datas").val()
},
success: function(response){
if( response.status === true ){
console.log('İşlem başarılı', response)
insertLive( response.data );
countLive++;
} else {
insertDec( response.data );
countDec++;
}
}
});
// })()
})


tagsil.php de de şu şekilde yakalayıp cevabı gönderin

if (isset($_POST['data'])) {
$response = [
'data' => $_POST['data'],
'status' => true
];
echo json_encode($response, JSON_UNESCAPED_UNICODE);
}